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    <title>问题</title>
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</head>
<body>

<p class="example">
	计算 `tan 12^@`, 一种方法是视 `12 = 30 - 18`,
	<span class="formula">
		`tan 12^@`
		`= (-sqrt 3 + sqrt(5+2sqrt 5))/(1+sqrt(15+6sqrt 5))` `quad cdots
		(1)`<br/>
		`= (3 sqrt 3 + sqrt 15 - 2 sqrt(5 + 2sqrt 5))/(7+3sqrt 5)`
		`= (3 sqrt 3 - sqrt 15 + (3sqrt 5-7)sqrt(5+2sqrt 5))/2` `quad
		cdots (2)`.
	</span>
	问题是, 假如只知道最后一个根式 (2), 如何逆推得到第一个根式 (1)?
</p>

<p class="example">
	有一种说法称, `"e"` 进制是最高效的进制, 依据何在?
</p>

<p class="answer">
	`n` 位的 `r` 进制数共有 `r^n` 个之多, 为了表示它, 需要消耗 `r * n`
	的存储空间. 比如, 可以用下面的 `3 xx 4` 矩阵表示 3 进制数
	(2102)<sub>3</sub>:
	<span class="formula">
		`[0, 0, 1, 0; 0, 1, 0, 0; 1, 0, 0, 1]`.
	</span>
	问题转化为 `r^n = c` 为定值时, 求 `r n` 的极小值.
	取对数有 `n ln r = ln c`, 于是
	<span class="formula">
		`r n = r (ln c)/(ln r) := f(r)`,
	</span>
	令 `f'(r) = 0`, 解得 `r = "e"`.
	在限定进制为整数的情况下, 有
	<span class="formula">
		`f(2) = 2/(ln 2) ln c gt 3/(ln 3) ln c = f(3)`,
	</span>
	因此三进制从某种意义上 "优于" 二进制.
</p>

<p class="example">
	`ABDC` 是圆内接四边形, `AB, CD` 交于 `P`, 且 `AP = AC`.
	`BC` 中点是 `E`, `vec(EF) = vec(EA) + vec(ED)`. 证明: `PF _|_ BC`.
</p>

<p class="proof">
	<span class="formula">
		`vec(PF) = vec(PE) + vec(EF)`
		`= 1/2(vec(PB)+vec(PC)) + vec(EA) + vec(ED)`
		`= 1/2(vec(PB)+vec(PC)) -1/2(vec(AB)+vec(AC)) + vec(EC) + vec(CD)`
		`= 1/2(vec(PA)+vec(PC)) -1/2(vec(PC)-vec(PA))
		+ 1/2(vec(PC)-vec(PB)) + vec(PD)-vec(PC)`
		`= vec(PA) + vec(PD) - 1/2(vec(PB)+vec(PC))`
	</span>
	利用割线定理有 `vec(PA) * vec(PB) = vec(PC) * vec(PD)`,
	分别记 `vec(PA), cdots, vec(PD)` 的长度为 `a, b, c, d`,
	`/_APC = theta`, 于是
	<span class="formula">
		`vec(PF)*vec(BC)`
		`= (vec(PA) + vec(PD) - 1/2(vec(PB)+vec(PC))) * (vec(PC)-vec(PB))`
		`= (a c - b d) cos theta + 1/2(b^2-c^2)`.
	</span>
	由余弦定理 `cos theta = (a^2+c^2-a^2)/(2a c) = c/(2a)` 和割线定理
	`a b = c d`, 上式等于
	<span class="formula">
		`1/2(c^2-b^2) + 1/2(b^2-c^2) = 0`.
	</span>
</p>

<p class="example">
	[题源 brilliant.org]
	设
	<span class="formula">
		`a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) = 1`,
	</span>
	求
	<span class="formula">
		`a^2/(b+c) + b^2/(c+a) + c^2/(a+b) = ?`.
	</span>
</p>

<p class="solution">
	记 `x = a/(b+c)`, `y = b/(c+a)`, `z = c/(a+b)`,
	于是
	<span class="formula">
		`a x + b y + c z`
		`= (a+b+c) (x+y+z) - x(b+c) - y(c+a) - z(a+b)`
		`= (a+b+c) - a - b - c  = 0`.
	</span>
</p>

<p class="example">
	平面上到 `n` 个点距离之和为定值的点的轨迹称为 `n`-ellipse:
	<span class="formula">
		`sum_(k=1)^n sqrt((x-x_k)^2+(y-y_k)^2) = c`.
	</span>
  (和 hyper ellipse (super ellipse) `|x/a|^n + |y/b|^n = 1` 区别).
</p>

<p class="example">
	证明: `0.5^(0.4) gt log_(0.4) 0.5`.
</p>

<p class="example">
	已知
	<span class="formula">
		`{2^x+3^y = 12; 2^y+3^x = 18:}`
	</span>
	求 `(x+y)^(x+y)`.
</p>

<p class="example">
	等腰三角形 `ABC` 的顶角 `/_A = alpha`, `0 lt alpha lt pi/3`.
	`D` 在 `AB` 上, `CD = CB`, `/_BCD = alpha`. `E` 在 `AC` 上, `AD = EC`.
	求 `/_CDE`.
</p>

<p class="proof">
	在 `triangle ADE`, `triangle CDE` 中分别使用正弦定理...
</p>

<p class="example">
	设多项式 `f` 满足 `f(x+1) = f(x)`, 则 `f` 是常数.
</p>

<p class="proof">
	反设 `f` 的次数为 `n ge 1`. 由代数基本定理, `f` 有一根 `a in CC`.
	由 `f` 的周期性, `a + k`, `k in ZZ` 都是 `f` 的根, 但 `f` 的根最多只有
	`n` 个, 矛盾. 因此 `f` 是常数.
</p>

<p class="proof">
	由 Liouville 定理, 只需证 `f` 是有界整函数:
	首先它在整个复平面上可微; 其次 `f(x)` 在
	`|x| le 1` 时有界, 因而在整个复平面上有界.
</p>

<p class="example">
	极限 `lim_(u+v to 0) u/v + v/u` 不存在.
</p>

<p class="example">
	`f'(x) = (f(x+h) - f(x-h))/(2h)`.
</p>

<p class="example">
  证明 `sqrt 5 + sqrt(22+2sqrt5)`
  `= sqrt(11+2sqrt29)`
  `+ sqrt(16-2sqrt29+2sqrt(55-10sqrt29))`.
</p>

<p class="example">
  抛物线 `y = x^2` 中有一系列圆 `omega_n`, 半径为 `r_n`, `n = 1, 2, 3,
  cdots`.  其中序号相邻的两圆相切. 又, 每个圆都和抛物线在左右两边相切.
  若 `r_1 = 1`, 证明: `r_n = n`.
</p>

<p class="proof">
  考虑圆 `omega_n`. 设它的圆心纵坐标为 `y_n`, 与抛物线在第一象限的切点为
  `(x_n, x_n^2)`. 由三角形相似
  <span class="formula">
    `x_n/(y_n - x_n^2) = 2 x_n`
    `rArr y_n - x_n^2 = 1/2`.
  </span>
  由勾股定理
  <span class="formula">
    `1/4 = (y_n - x_n^2)^2 = r_n^2 - x_n^2`.
  </span>
  两式消去 `x_n` 得
  <span class="formula">
    `y_n = r_n^2 + 1/4`.
  </span>
  联系等式 `y_n = y_(n-1) + r_(n-1) + r_n` 得
  <span class="formula">
    `(r_n - 1/2)^2`
    `= y_(n-1) + r_(n-1)`
    `= (r_(n-1) + 1/2)^2`,
  </span>
  即
  <span class="formula">
    `r_n = r_(n-1) + 1`.
  </span>
  由归纳法显然有 `r_n = n`.
</p>

<p class="example">
  <b>模函数</b>
  记 `K = K(k)` (第一类椭圆积分), `K' = K(k') = K(sqrt(1-k^2))`,
  `omega = "i"K' // K`, 则 `k, k'` 可表为 `omega` 的函数:
  <span class="formula">
    `varphi(omega) = root 4 k`, `quad psi(omega) = root 4(k')`.
  </span>
  这是两个全纯的复变函数, 称为模函数.
  记 `q = "e"^("i"pi omega)`, 可定义 `q`-级数
  <span class="formula">
    `varphi(omega) = sqrt2 q^(1/8) sum q^(2 n^2 + n) // sum q^(n^2)`,<br>
    `psi(omega) = sum (-1)^n q^(2n^2) // sum q^(n^2)`.
  </span>
  模函数满足函数方程
  <span class="formula">
  `{
    varphi^8 + psi^8 = 1;
    varphi(-1//omega) = psi(omega);
    varphi(omega+1) = "e"^("i"pi//8) varphi // psi;
    psi(omega+1) = 1//varphi
  :}`
  </span>
</p>

<p class="example">
  设 `x_0 = 1`, `x_(n+1) = a^(x_n)`, `a gt 0`. 讨论 `x_n` 的极限.
</p>

<ol class="solution">
  <li>如果极限存在, 将收敛到 `a^x` 的不动点. `a^x` 在 `b` 处的切线为
  <span class="formula">
    `y - a^b = (a^b ln a)(x-b)`,
  </span>
  因此 `a^x` 和 `x` 相切当且仅当
  <span class="formula">
  `{
    a^b ln a = 1;
    a^b(1- b ln a) = 0;
  :}`
  </span>
  由第二式得 `b ln a = 1`, `a^b = "e"`, 再由第一式 `a = "e"^(1//"e")`.
  因此 `a gt c = "e"^(1//"e")` 时, `a^x` 没有不动点, 数列发散;
  `a = c` 时, 数列有唯一的不动点 `"e"`.
  `a lt c` 时, 数列有两个不动点.
  </li>
  <li>
    下面设 `a le c`, 讨论极限的存在性.
    ??, 因此数列在 `a in [(1//"e")^"e", "e"^(1//"e")]` 时收敛,
    `a in (0, (1//"e")^"e")` 时在两点间振荡.
  </li>
</ol>

<p class="example">
  <b>包络线</b> 由方程组
  <span class="formula">
    `{ f(x, y, c) = 0; f_c(x, y, c) = 0 :}`
  </span>
  确定的曲线称为 `c`-检验曲线.
  我们可以消去参数 `c` 得到 `x, y` 的隐方程, 也可以取定参数 `t`,
  将 `x, y, c` 都表为 `t` 的函数, 从而得到关于 `t` 的参数方程.
  比如, 椭圆 `(a cos t, b sin t)` 的全体法线组成的直线族为
  <span class="formula">
    `(a x)/(cos c) - (b y)/(sin c) = a^2-b^2`,
  </span>
  它的包络为 `(a^2-b^2)((cos^3 t)/a, -(sin^3 t)/b)`. 代入直线族知,
  该包络线与直线族在 `t = c` 处相切.
</p>

<p class="example">
  <b>三角形面积的 Heron 公式</b> 中乘积
  <span class="formula">
    `(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)`
  </span>
  的对称性应该由什么群刻画? (`C_3`?)
</p>

<p class="theorem">
  <b>博弈论的 von Neumann 定理</b>
  设矩阵 `bm X = (x_(i j))_(m xx n)` 的每一行都非负单增, 即
  <span class="formula">
    `0 le x_(i 1) le x_(i 2) le cdots le x_(i n)`,
    `quad i = 1, 2, cdots, m`.
  </span>
  又设 `(y_(i j))_(m xx n)` 的第 `i` 行是 `bm X` 第 `i` 行的任意排列,
  `i = 1, 2, cdots, m`, 则
  <span class="formula">
    `sum_(j=1)^n prod_(i=1)^m x_(i j)`
    `ge sum_(j=1)^n prod_(i=1)^m y_(i j)`.
  </span>
</p>

<p class="example">
  <b>Kummer 定理</b>
  <span class="formula">
    `{::}_2 F_1(x, -x";" x+n+1";"-1)`
    `= (Gamma(x+n+1)//Gamma(n+1))/(Gamma(x+n/2+1)//Gamma(n/2+1))`.
  </span>
  或者
  <span class="formula">
    `{::}_2 F_1(alpha, beta";" 1+alpha-beta";"-1)`
    `= (Gamma(1+alpha-beta)//Gamma(1+alpha))/(Gamma(1+alpha/2-beta)//Gamma(1+alpha/2))`.
  </span>
</p>

<p class="example">
  方阵 `bm A, bm B` 可交换, 则它们可以表为同一矩阵的多项式吗? 是否存在 `bm X, f, g` 使用 `f(bm X) = bm A`, `g(bm X) = bm B`?
</p>

<p class="example">
  [来自 Lagrange] 求解矩阵方程 `bm X^2 = bm B`, `"e"^(bm A) = bm B`.
</p>

<p class="example">
  `sum_(n ge 1) H_n^2/n^2 = 17/4 zeta(4) = 17/360 pi^4`.
</p>

<p class="example">
  哥隆尺
</p>

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</body>
</html>
